TP A.19 Массе; дуговая траектория движения битка

Предполагается, что удар по битку произведён с угловым импульсом как показано выше. Исходя из начальных составляющих скорости битка, линейный импульс после соударения:
(1)

(2)

где ve - эффективная скорость прямого взаимодействия.

Вращательный импульс, как компоненты вращения битка по осям х и у:
(3)

(4)

Таким образом, используя уравнение 2, начальные компоненты вращения могут быть записаны в в виде:
(5)

(6)

Теперь мы можем найти финальное направление движения битка по формуле 23 TP A.4:
(7)

Как доказано Кориолиса, финальное направление движения битка можно предсказать, исходя из геометрии показано на рисунке выше. Основываясь на виде сверху, финальное направление движения битка может быть выражено следующим образом:
(8)

Из вида сбоку следует, что:
(9)

Уравнение 9 может быть модифицировано следующим образом:
(10)

Подставляя уравнение 10 в уравнение 8 получим такой же результат, что и в уравнении 7. Таким образом, метод геометрические построения, предложенные Кориолисом, остаются в силе. Отметим, что в анализе не учитывается трение между битком и столом во время удара кием, но Кориолис также доказал, что трение не оказывает никакого влияния на окончательное направление движения битка. В обычных условиях финальный угол отклонения битка обычно намного меньше угла, вычислинного по методу Кориолиса. Это может быть отчасти связано с эффектом смещения битка и другими эффектами. Теперь мы можем определить траекторию движения битка на основе анализа выше и TP А.4.

Примечание: Все параметры выражены в метрической системе (СИ).
параметры шара:

коэффициент трения между битком и сукном:

ускорение свободного падения:

Из уравнений 1, 2, 5 и 6:

Из уравнения 14 в TP A.4:

Из уравнения 20 в TP A.4:

Из уравнений 21 и 22 в TP A.4:

Из уравнений 24 и 25 в TP A.4:

Из анализа TP А.4, траектория движения битка определяется по формуле:

Из уравнения 7, финальный угол отклонения битка может быть найден:

Параметры, используемые для построения графиков:
количество отображаемых секунд

временной интервал для построения

Уравнение для финального направления:

Уравнение для шара (для масштаба):

Различные варианты скоростей:

Сравнение наката и оттяжки на средних и высоких скоростях:
одинаковое количество бокового вращения для обоих ударов

одинаковое количество верхнего и нижнего вращения для обоих ударов

для оттяжки кий немного более приподнят

начальная линия прицеливания с типичным уровнем смещения битка:

Оттяжка демонстрирует бОльшую степень смещения битка на небольших дистанциях (до 1.4 метров), но на длинных расстояних степень смещения битка больше для наката. Контрольная точка - 1.4 метра - зависит от силы удара и состояния шаров и сукна.

Ниже представлены угла финального отклонения битка после прекращения скольжения и обретения естественного наката:

Финальный угол отклонения битка для различных вариантов подъёма кия:

TP A.19 Masse shot aiming method, and curved cue ball paths

The cue ball is assumed to be struck in the y direction with the angled impulse as shown above. From linear impulse and momentum, the initial cue ball speed components, after cue stick impact, are:
(1)

(2)

where ve is the effective speed of a straight-on impact.

From angular impulse and momentum, the spin components of the cue ball about the x and y axes, after cue stick impact, are related to the impulse according to:
(3)

(4)

Therefore, the initial spin components, using Equation 2, can be written as:
(5)

(6)

We can now find the final cue ball direction from Equation 23 in TP A.4:
(7)

As proved by Coriolis, the final cue ball direction can also be predicted from the geometry shown in the illustration above. From the top view, the final cue ball direction can be expressed as:
(8)

From the side view in the illustration above, it can be shown (see the figure below) that:
(9)

Equation 9 can be rearranged to give:
(10)

Using Equation 10 in Equation 8 results in the same expression as Equation 7. Therefore, the aiming method proposed by Coriolis is shown to be valid. Note that the friction between the ball and the table during cue stick impact is is not accounted for in this analysis, but Coriolis also showed that this friction has no effect on the final cue ball direction. With typcial conditions, the final CB angle usually comes up a little short of the angle predicted by the Coriolis method. This could be due in part to squirt and multiple-body collision effects associated with jamming the cue ball between the tip and slate. Now we can define the cue ball trajectory based on the analyses above and in TP A.4.

NOTE: All parameters are expressed in metric (SI) equivalent values for dimensionless analysis ball properties:
ball properties:

coefficient of friction between the cue ball and table cloth:

gravity

From Equation 1, 2, 5, and 6 above,

From Equation 14 in TP A.4,

From Equation 20 in TP A.4,

From Equations 21 and 22 in TP A.4,

From Equations 24 and 25 in TP A.4,

From the analysis in TP A.4, the entire cue ball path is defined by:

From Equation 7 above, the final cue ball angle can be found with:

Parameters used in plots below:
number of seconds to display

0.01 second plotting increment

Equation for the final direction:

Equation for the ball (for scale)

various effective impact speeds (in mph, converted to m/s):

Comparison of draw and follow shot swerve for a medium-fast-speed shot under typical ball and table conditions:
same amount of English for both: 1:30pm (follow) or 4:30pm (draw)

same amount of top or bottom spin for both

slightly higher cue elevation for the draw shot, but typical values

initial aiming line with a typical amount of squirt (2 degrees):

The draw shot exhibits more "effective squirt" (the net effect of both squirt and swerve, AKA squerve) over the shorter shot distances (0-4.5 ft); but, over longer shot distances (>4.5 ft), the follow shot exhibits more "effective squirt." The crossover distance (4.5 ft) depends on shot speed and ball/table conditions.

Here are the final cue-ball trajectory angles after sliding ceases and rolling begins:

Final cue ball angle for various cue stick elevations: